give someone the elbow

縁を切る / 恋人と別れる

イギリス英語のスラングです。直訳は「ひじ」を与えたですが、この行為の意味は察しがつくと思います。

友人同士など親しい間で使われます。

Josh gave Kei the elbow.

ジョーシはケイと別れた。

似たような表現として、

Josh dumped Kei.

Josh ditched Kei.

と言った表現もあります。