breathe a word

秘密にする

breatheは「（息を）吸う」ですが、他にも「（息を）吐く」 や「ささやく」という意味があります。

A: Don’t tell anybody, but I won a lottery

B: I won’t breathe a word.

A: 誰にも言わないで欲しいんだけど、宝くじが当たった！

B: 秘密にしておくよ。