dying は die の現在進行形で、「死ぬ」という意味です。
「もう死にそうなくらいxxxしたい」という意味で使われます。
よく使われる「I want to」より強い要望の時に使います。
Can I have a bite? I’m dying to taste it.
一口ちょうだい。どうしても味を知りたいんだ。
I’m dying to see you!
会いたくてたまらないよ。